تدریس خصوصی دیفرانسیل

تدریس خصوصی دیفرانسیل, به آموزش درس دیفرانسیل که یکی از دروس مهم و پرکاربرد در بسیاری از رشته ها است می پردازد. در واقع تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل، بیشتر بر روی درک مسائل و معادلات متمرکز است تا حفظ کردن و رد شدن از آن‌ها. از این‌رو است که پس از شرکت در جلسات تدریس خصوصی دیفرانسیل به راحتی با هر نوع معادله‌ای که روبه‌رو شوید آن را می‌شناسید و دقیقا می‌دانید برای حل آن باید از چه راهکاری استفاده کنید.

تاکنون انواع مختلفی از این معادلات معرفی شده است که می توان گفت در هر رشته، معادلات دیفرانسیل خاصی مدنظر بوده و لازم است تا دانشجویان راه حل آن ها را یاد بگیرند. در رشته ای مانند مهندسی مکانیک به منظور تحلیل دینامیک و ارتعاشات سیستم ها و صفحات لازم است تا دانشجویان این رشته با چندین نوع از معادلات دیفرانسیل آشنا باشند و توانایی اضافه و کم کردن عبارت های  دیفرانسیلی و تبدیل معادلات از حالتی به حالت دیگر را داشته باشند.

هدف اصلی مطالعهٔ حساب دیفرانسیل، محاسبه ی تغییرات یک تابع و کاربردهای آن است. در ریاضیات، حساب دیفرانسیل یکی از زیرمجموعه‌های حسابان است که به مطالعه ی نرخ تغییرات کمیت‌ها پرداخته می شود. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.

معادلات دیفرانسیل چیست

معادله ی دیفرانسیل، رابطه‌ای میان مجموعه‌ای از تابع‌ها و مشتقات آن‌ها است. معادله ی دیفرانسیل معمولی گونه‌ای از معادله ی دیفرانسیل است که رابطه ی میان تابع‌هایی از یک متغیر و مشتقات آن‌ها را نشان می‌دهد. معادله ی دیفرانسیل جزئی نوعی معادله دیفرانسیل است که رابطه ی تابع‌هایی با بیش از یک متغیر و مشتقات جزئی آن‌ها را بیان می‌کند. معادلات دیفرانسیل در علوم فیزیکی، مدل‌سازی ریاضی و ریاضیات دیده می‌شوند.

فهرست مطالب در تدریس خصوصی معادلات دیفرانسیل
فصل اول: معادلات دیفرانسیل معمولی
• تعاریف و کلیات
• تشکیل معادله دیفرانسیل
• مسیر های قائم
فصل دوم: معالات دیفرانسیل مرتبه اول
• معادلات تفکیک پذیر
• معادلات همگن
• معادلات دیفرانسیل کامل
• فاکتور انتگرال گیری
• معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول
• معدلات مرتبه اول که نسبت به مشتق حل نشده اند
• روش تکرار پیکارد
• قضایای مربوط به وجود یکتایی
فصل سوم: معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم و بالاتر
• معادلات خطی مرتبه دوم
• معادلات خطی مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت
• معادلات خطی همگن از مرتبه دلخواه n با ضرایب ثابت
• معادلات خطی غیر همگن مرتبه دوم
• روش عمومی برای حل معدلات خطی غیر همگن
• حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت بوسیله روش اپراتور
• اوپراتور معکوس
• روش حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم در حالات خاص
فصل چهارم: حل معادلات با سری
• سری
• حل معادلات دیفرانسیل با سری توانی
• معادله لژاندر ، چند جمله ای لژاندر
• روش توسعه یافته سری توانی ، روش فروبنیوس
• تابع گاما
• معادله بسل ، تابع بسل نوع اول
• تابع بسل نوع دوم
فصل پنجم: دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
• روش حذفی
• روش اپراتور
فصل ششم: تبدیل لاپلاس
• تبدیل لاپلاس
• تبدیل لاپلاس مشتق
• تبدیل لاپلاس انتگرال
• قضایای انتقال
• مشتق گیری از تبدیل لاپلاس
• انتگرال گیری از تبدیل لاپلاس
• کانولوشن
• تبدیل لاپلاس توابع متناوب
• دستگاه معادلات دیفرانسیل

روش‌های حل معادلات دیفرانسیل

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند. برخی از معادلات دارای جواب دقیق و فرم تابعی هستند اینگونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به جواب دقیق رسید. معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد. از روش‌های نیمه تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد. روش‌های عددی دامنه وسیع تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد .

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک

معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم حرکت نیوتن به دست می آیند،هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می شوند. در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. برای حل آنها از روشهای عددی به کمک کامپیوترهای سریع و پیشرفته استفاده می کنند.
همچنین کامپیوتر به موتور موشک دستور می دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گیرد. لزوم سرعت و دقت در این گونه کاربردهای کامپیوتری، انگیزه ای قوی برای پژوهش در زمینه سخت افزار و نرم افزار کامپیوتر به منظور تولید کامپیوترهای سریعتر و قابل اعتمادتر بوده هست.

معادلات دیفرانسیل مشهور

• قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
• معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
• واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
• معادله موج
• معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
• معادلات پواسن
• معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
• مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان
• فرمول انیشتین
• قانون گرانش نیوتن
• معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
• معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
• معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
• معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
• معادله موج برای تار مرتعش
• نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی
• نظریه پتانسیل
• معادله موج برای غشای مرتعش
• معادلات شکار و شکارچی
• مکانیک غیر خطی
• مسئلهٔ مکانیکی آبل
• معادلات دسته لین-امدن
• معادله ابرگاز کروی
• معادله کوتوله سفید
• معادلات امدن-فاولر
• معادله جمعیتی ولترا
• معادله توماس فرمی
• معادله بلاسیوس
• معادله فالکنر اسکن
• معادله فوکر-پلانک
• معادله لوتکا ولترا
• معادله زابولوتسکایا-خوخولوف